健康保険の加入のルールは法律で決められているため、自分やアルバイト先の経営者の意志で「入る」、「入らない」を決めることはできません。
アルバイトも1日の労働時間、あるいは、1週間や1カ月の労働日数が通常の労働者である正社員の4分の3を超える場合には、健康保険に加入する義務があります。

厚生年金も健康保険と同じ条件です。
たとえば、正社員が1日8時間労働の場合は1カ月あたりの労働時間は160時間ですので、120時間の労働が健康保険と厚生年金への加入の目安となります。
労働条件をクリアしていても、アルバイト先で加入できないといわれた場合には、労働基準監督署へ相談してみましょう。